у нас есть область - "гайка", и заданы начальные и граничные условия - с нижней стороны она теплоизолирована, на остальных внешних сторонах у нее поддерживается фиксированная температура T1, а на внутренние стороны у нее нагнетая поток - то есть там подогревают.
#909
Задача - найти распределение температуры через некоторое время.
Уравнение математической физики (дифференциальные уравнения в частных производных), отвечающие за распределение температуры, имеет вид
#909
из этого всего надо найти U(x,y) - функция температуры от координат.
Способ (численный) решения этой задачи, если коротко, заключается в том, что необходимо разбить нашу область на некоторые базовые ("конечные") элементы, на которых будет задана базисная функция (базисная функция на треугольнике для вершины L1 - функция, которая в вершине L1 имеет значение 1, в других вершинах - 0, на остальных точках треугольника - некоторое значение от 0 (чем дальше от вершины) до 1 (чем ближе). Таким образом, с помощью базисных функций мы можем доопределить значение температуры на треугольнике (во всех его точках), зная температуры только в трех вершинах.)
#909
Для конечного элемента получаем матрицу жесткости - матрицу ("табличка", если кто-то не знает что такое матрица), в которой показаны зависимости температур.
Нам остается провести метод ансамблирования - "собрать" матрицу для всей области из локальных матриц жесткости. После этого еще вычисляется правая часть (интеграл по граничным условиям и по функции q(x,y)), и в итоге у нас есть матричное выражение
A*u = RHS,
где А - глобальная матрица жесткости n на n, где n - количество вершин в области; u - искомый вектор (u1, u2, ..., un), то есть набор значений функций U в каждой из n точек; RHS - тоже n-местный вектор.
Это выражение соответствует системе алгебраических уравнений из n уравнений с n искомыми значениями. Эта систем решается методом Гаусса.
Уффф. я всё.
Если кому поподробней - смотрите мой pdf.